Teorija

11. Tjedan

• Lekcija o nizovima realnih brojeva: Definicije, konvergencija, svojstva i primjene

---

1. Niz realnih brojeva

1.1. Definicija niza realnih brojeva

Niz realnih brojeva je funkcija definirana na skupu prirodnih brojeva $\mathbb{N}$, s vrijednostima u skupu realnih brojeva $\mathbb{R}$. Formalno, niz možemo pisati kao:

$$a: \mathbb{N} \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto a_n.$$

Govorimo da su članovi niza $a_1, a_2, a_3, \dots$. Uobičajeno se cijeli niz označava kao $(a_n)$ ili $\{ a_n \}_{n=1}^{\infty}$.

1.2. Primjeri nizova (aritmetički, geometrijski, periodični, rekursivni)

1. Aritmetički niz: svaka dva uzastopna člana razlikuju se za konstantu $d$. $$a_n = a_1 + (n-1)d.$$
2. Geometrijski niz: svaki član dobiva se množenjem prethodnog člana s konstantom $q$. $$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}.$$
3. Periodični niz: postoji neki period $T \in \mathbb{N}$ takav da $a_{n+T} = a_n$ za sve $n$.
4. Rekursivni niz: definiran je pomoću relacije gdje je svaki član određen prethodnim (ili prethodnim dvama, trima, itd.). $$a_{n+1} = F(a_n), \quad \text{ili} \quad a_{n+2} = G(a_{n+1}, a_n).$$

1.3. Grafički prikaz niza

Grafički se niz $(a_n)$ može prikazati točkama u ravnini s koordinatama $(n, a_n)$, gdje je $n \in \mathbb{N}$. Iako je to skup diskretnih točaka, ovaj prikaz pomaže vizualizirati ponašanje niza (rastući, padajući, približava li se nekoj vrijednosti i sl.).

---

2. Osnovna nejednadžba konvergencije

2.1. Definicija granice niza

Kažemo da niz $(a_n)$ konvergira prema broju $A \in \mathbb{R}$ ako se članovi niza sve više približavaju $A$ kako $n$ raste.

Simbolički,

$$\lim_{n \to \infty} a_n = A.$$

2.2. Epsilonska definicija ($\forall \varepsilon > 0 \exists n_0$)

Formalna (epsilonska) definicija konvergencije glasi:

$$\forall \varepsilon > 0 \,\exists\, n_0 \in \mathbb{N} : \text{ za sve } n \ge n_0 \quad |a_n - A| < \varepsilon.$$

To znači da, za bilo koju zadanu “toleranciju” $\varepsilon$, možemo pronaći dovoljno veliki indeks $n_0$ nakon kojeg su svi članovi niza unutar $\varepsilon$-okolice željene granice $A$.

2.3. Primjeri konvergentnih nizova

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
2. $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0$.
3. $\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1$.

2.4. Razlika između konvergentnih i divergentnih nizova

• Konvergentan niz ima konačnu granicu $A \in \mathbb{R}$.
• Divergentan niz može “odlaziti” u $+\infty$ ili $-\infty$ (tzv. beskonačna divergencija) ili jednostavno nema granicu (npr. $(-1)^n$).

---

3. Gomilište i podniz

3.1. Definicija gomilišta niza

Gomilište (akumulacijska točka, nakupina) niza $(a_n)$ je realan broj $x$ takav da postoji podniz koji konvergira prema $x$. Ne mora svaki gomilište biti granica cijelog niza, ali svaka granica niza mora biti gomilište.

3.2. Pojam $\limsup$ i $\liminf$

• Gornja granica niza $\limsup_{n \to \infty} a_n$ definira se kao najveći mogući “potencijalni” limes podniza (najveće gomilište).
• Donja granica niza $\liminf_{n \to \infty} a_n$ je najmanji mogući “potencijalni” limes podniza (najmanje gomilište).

Ako niz konvergira prema $A$, tada vrijedi:

$$\liminf_{n \to \infty} a_n = \limsup_{n \to \infty} a_n = A.$$

3.3. Definicija podniza i njegove karakteristike

Podniz $(a_{n_k})$ niza $(a_n)$ dobivamo odabirom strogo rastuće sekvence indeksa $n_1 < n_2 < n_3 < \dots$. Drugim riječima, “preskačemo” neke članove, ali čuvamo redoslijed.

3.4. Teorem o konvergenciji podniza

Ako $(a_n)$ konvergira prema $A$, tada svaki njegov podniz $(a_{n_k})$ također konvergira prema istoj granici $A$.

Obrat vrijedi: Ako barem jedan podniz niza konvergira, to ne znači da cijeli niz konvergira; ipak, ako svaki podniz ima podniz koji teži istoj vrijednosti $A$, onda i cijeli niz konvergira prema $A$.

---

4. Omeđenost, monotonost i konvergencija

4.1. Definicija omeđenih nizova

Niz $(a_n)$ je omeđen ako postoji realan broj $M$ takav da je $|a_n| \le M$ za sve $n \in \mathbb{N}$.

• Odozgo omeđen: postoji $M$ tako da je $a_n \le M$ za sve $n$.
• Odozdo omeđen: postoji $m$ tako da je $a_n \ge m$ za sve $n$.

4.2. Monotonost (rastući, strogo rastući, padajući nizovi)

Niz $(a_n)$ je:

• Rastući ako za sve $n$, $a_{n+1} \ge a_n$.
• Strogo rastući ako za sve $n$, $a_{n+1} > a_n$.
• Padajući ako za sve $n$, $a_{n+1} \le a_n$.
• Strogo padajući ako za sve $n$, $a_{n+1} < a_n$.

4.3. Teorem monotonosti: veza između omeđenosti, monotonosti i konvergencije

Teorem: Ako je niz $(a_n)$ monoton i omeđen, onda je konvergentan. Konkretno:

• Rastući, odozgo omeđen → konvergira.
• Padajući, odozdo omeđen → konvergira.

4.4. Primjeri monotono konvergentnih nizova

1. $a_n = 1 - \frac{1}{n}$ je rastući i omeđen iznad s 1 → konvergira prema 1.
2. $a_n = \frac{1}{n}$ je padajući i omeđen ispod s 0 → konvergira prema 0.

---

5. Svojstva limesa

5.1. Jedinstvenost limesa

Ako niz $(a_n)$ konvergira, njegova je granica jedinstvena. Ne može postojati više različitih vrijednosti prema kojima niz teži.

5.2. Aritmetička svojstva limesa

Ako $(a_n) \to A$ i $(b_n) \to B$ kada $n \to \infty$, tada vrijede:

1. Zbrajanje: $$\lim_{n \to \infty} (a_n + b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n + \lim_{n \to \infty} b_n = A + B.$$
2. Skalarni faktor ($k \in \mathbb{R}$): $$\lim_{n \to \infty} (k \cdot a_n) = k \cdot \lim_{n \to \infty} a_n .$$
3. Množenje: $$\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n) = \lim_{n \to \infty} a_n \cdot \lim_{n \to \infty} b_n = A \cdot B.$$
4. Dijeljenje (ako $B \neq 0$): $$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim_{n \to \infty} a_n}{\lim_{n \to \infty} b_n} = \frac{A}{B}.$$
5. Potenciranje $$\lim_{n \to \infty} a_n^p = (\lim_{n \to \infty} a_n)^p \quad \text{za } p \in \mathbb{R}.$$
6. Množenje sa nizom $$\lim_{n \to \infty} k^{a_n} = k^{\lim_{n \to \infty} a_n} \quad \text{za } k > 0.$$
7. Konst. $$\lim_{n \to \infty} k = k.$$

5.3. Primjena algebarskih pravila na nizove

Ova svojstva omogućuju nam da često, umjesto izravnog analiziranja niza, odredimo granicu “pazeći” na poznate granice i jednostavne algebarske transformacije.

Primjer:
Ako znamo da $a_n = n$ → divergiraju prema $\infty$, i $b_n = \frac{1}{n}$ → konvergira prema 0, tada je

$$\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n}{n+1}\right) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n(1 + \frac{1}{n})} = \frac{1}{1 + 0} = 1.$$

5.4. Primjeri računanja limesa

• $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigl( 2 + \frac{3}{n} \bigr) = 2$.
• $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \bigl( -3n + 2n \bigr) = -\infty$ (divergencija).
• $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{5n^2 + 1}{n^2 + 2} = \lim_{n \to \infty} \frac{5 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{2}{n^2}} = \frac{5}{1} = 5.$

---

6. Cauchyjev niz

6.1. Definicija Cauchyjevog niza

Niz $(a_n)$ je Cauchyjev ako:

$$\forall \varepsilon > 0 \,\exists\, n_0 : \forall m,n \ge n_0 \quad |a_n - a_m| < \varepsilon.$$

Intuitivno, članovi niza postaju sve “gušći” jedan oko drugoga kako $n$ raste.

6.2. Povezanost s konvergencijom (Cauchyjev kriterij)

U skupu realnih brojeva, svaki Cauchyjev niz je konvergentan (to je posljedica potpunosti skupa $\mathbb{R}$). Ovo daje alternativni način dokazivanja konvergencije bez eksplicitnog navođenja granice.

6.3. Primjeri Cauchyjevih nizova

1. $\bigl(\frac{1}{n}\bigr)$ je Cauchyjev, jer se razlike članova s vremenom “stisnu” prema nuli.
2. $\bigl(\sqrt[n]{2}\bigr)$ je također Cauchyjev i konvergira prema 1.

---

7. Neki važni limesi

7.1. Osnovni limesi

1. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$.
2. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^p} = 0$ za $p > 0$.
3. $\displaystyle \lim_{n \to \infty} r^n = 0$ ako $|r| < 1$.

7.2. Posebni limesi

1. Geometrijski niz $a_n = q^n$ s $|q| < 1$ → $0$.
2. Eksponencijalna i logaritamska funkcija se često javljaju u zadacima sa složenijim nizovima, npr. $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = e^x.$$
3. Klasični limes: $$\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e.$$
4. Niz korijena: $$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1.$$

7.3 Specijalni limesi

1. $\lim_{n \to \infty} \frac{a^n}{n!} = 0, \, a \in \mathbb{R}$
   (faktorijel raste brže od eksponencijalne funkcije)

2. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^p}{a^n} = 0, \, a > 1, \, p > 0$
   (eksponencijalna funkcija raste brže od potencije)

3. $\lim_{n \to \infty} \frac{n^p}{n!} = 0, \, p > 0$
   (faktorijel raste brže od potencije)

4. $\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n = e$

5. Geometrijski niz $(q^n)$ je konvergentan ako je $-1 < q \leq 1$ i vrijedi:
   $\lim_{n \to \infty} q^n = \begin{cases} 0, & \text{ako je } -1 < q < 1 \\ 1, & \text{ako je } q = 1 \, (\text{to je stacionaran niz})\end{cases}$

6. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1, \, (a > 0)$

7. $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n} = 1$

---

8. Zaključak

8.1. Sažetak svojstava niza realnih brojeva

U ovoj lekciji vidjeli smo:

• Temeljne definicije niza i konvergencije.
• Razlike između konvergentnih i divergentnih nizova.
• Pojmove gomilišta, $\limsup$ i $\liminf$.
• Monotone i omeđene nizove → važan teorem o njihovoj konvergenciji.
• Cauchyjeve nizove i njihovu važnost u teoriji potpunih prostora.

8.2. Povezanost između pojmova konvergencije, omeđenosti i monotonosti

• Monotoni i omeđeni → konvergiraju.
• Cauchyjevi → konvergiraju (u $\mathbb{R}$).
• Konvergencija podrazumijeva određenu “stabilnost” niza, dok su gomilišta i podnizovi tehnički alati za analizu složenijih nizova.

8.3. Primjene nizova u matematici i tehničkim znanostima

• Analiza: Nizovi se koriste u definiranju reda konvergencije metoda, sekvencijalnoj definiciji funkcija, integrala i derivacija.
• Numeričke metode: Iterativne metode računanja korijena (npr. Newtonova metoda) kreiraju nizove koji konvergiraju prema rješenju.
• Inženjerstvo i fizika: Diskretni signali i uzorkovanja.
• Ekonomija: Sekvencijalna optimizacija, diskretno vrijeme u modelima rasta/populacije.

Vježbe

Ispit

Kako se definira aritmetički niz realnih brojeva?

$a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

$a_n = a_{n-1} + d$

$a_n = a_1 + (n-1)d$

$a_n = a_{n-1} \cdot r$

Koji je limes niza $a_n = \frac{n+1}{n}$ kada $n$ teži beskonačnosti?

$\infty$

$1$

$0$

$-1$

Što je podniz niza $(a_n)$?

Niz koji se sastoji od svih članova $(a_n)$

Niz koji se sastoji od nasumično odabranih članova $(a_n)$ bez očuvanja redoslijeda

Niz koji se sastoji od strogo rastućih indeksa $(a_n)$

Niz koji se sastoji od strogo rastućih indeksa $(a_{n_k})$

Koji od sljedećih nizova je geometrijski niz?

$a_n = 2n + 3$

$a_n = 5 - \frac{1}{n}$

$a_n = 3 \cdot 2^{n-1}$

$a_n = (-1)^n$

Koji je nužni uvjet za niz da bude Cauchyjev niz?

Niz mora biti monoton

Niz mora biti omeđen

Za svako $\varepsilon > 0$, postoji $n_0$ takav da je $|a_n - a_m| < \varepsilon$ za sve $m, n \ge n_0$

Niz mora imati granicu

Što označava $\limsup_{n \to \infty} a_n$?

Najmanja gomilišta niza

Najveća gomilišta niza

Granica niza ako postoji

Prosječnu vrijednost niza

Koji niz ne konvergira?

$a_n = \frac{1}{n}$

$a_n = (-1)^n$

$a_n = 2 - \frac{3}{n}$

$a_n = 5 + \frac{1}{n^2}$

Koji je limes niza $a_n = \sqrt[n]{n}$ kada $n$ teži beskonačnosti?

$1$

$\infty$

$0$

$e$

Kako se definira omeđen niz realnih brojeva?

Postoji $M$ takav da je $a_n \ge M$ za sve $n$

Postoji $M$ takav da je $|a_n| \le M$ za sve $n$

Niz je strogo rastući ili strogo padajući

Niz konvergira prema određenoj granici

Koji od sljedećih nizova je strogo rastući i omeđen?

$a_n = 1 - \frac{1}{n}$

$a_n = \frac{1}{n}$

$a_n = (-1)^n$

$a_n = n$